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División sintética


La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio $P(x)$ de grado$n, \, \, \, n \geq 1$, por un polinomio de la forma $x-\alpha$, con $\alpha \in I \!\!R$, a partir de los coeficiente de $P(x)$ y el cero de $x-\alpha$. 
Ejemplo 1 :
Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que: $P(x) = -8x^3+x^4-16+2x; \, \, \, Q(x) = x-8$.
Usando división sintética, determine el cociente  y el residuo $R(x)$ que se obtiene al dividir $P(x)$ por $Q(x)$.
Solución

Ordenando $P(x)$ en forma desendiente de acuerdo a su grado, se obtiene:
$P(x) = x^4-8x^3+0x^2+2x-16$, y realizando la división se tiene:
Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo.

Por lo que $C(x) = x^3+0x^2+2x-16$ o sea $C(x) = x^3+2$ y 
Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, debem escribirse.

Ejemplo 2:

Realice la división de P(x) = 3x4 + 2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2.
Solución 
Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c se obtiene
                                                                 
Así, el cociente de la división de P(x) entre x + 2 es 3x3 - 4x2 + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.
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