Propiedades geométricas de funciones polinomiales

Ejercicio 1 :

Analizar y representar la función f(x)=0.25x⁴-2x²+3
a) Dominio: R
b) Simetría: Por ser función par, es simétrica respecto del eje OX.
c) Corte con los ejes:

• Cortes con OX: 0.25x⁴-2x²+3=0 ®  x=±Ö6, ±Ö2
• Corte con OY: f(0)=3

d) Regiones: El signo en cada intervalo se obtiene fácilmente pues basta calcularlo en uno cualquiera de ellos y se va alternando.

x	(-¥,-Ö6)	(-Ö6,-Ö2)	(-Ö2,Ö2)	(Ö2,Ö6)	(Ö6,+¥)
y	+	-	+	-	+

e) Ramas parabólicas:

• Para x ® ±¥, f(x) ® +¥

f) Puntos singulares:

• f'(x)=x³-4x
• f'(x)=0 « x(x²-4)=0 ® x=0, x=2, x=-2
• f(0)=3, f(2)=-1, f(-2)=-1
• f''(x)=3x²-4
• f''(0)=-4 <0 ® Máximo (0,3)
• f''(-2)=8 >0 ® Mínimo (-2,-1)
• f''(2)=8 >0 ® Mínimo (2,-1)

g) Puntos de inflexión:

• f''(x)=0 «  3x²-4=0 ® x=±Ö4/3
• f(Ö4/3)=7/9; f(-Ö4/3)=7/9
• f'''(x)=6x
• f'''(Ö4/3) >0 ® Inflexión: (Ö4/3,7/9)
• f'''(-Ö4/3)<0 ®Inflexión: (-Ö4/3,7/9)

Ejercicio 2:

Analizar y representar la función f(x)=x⁴+1
a) Dominio: R
b) Simetría: Como no es ni par ni impar no hay simetría ni respecto del eje OX ni respecto del origen.
c) Cortes con los ejes:

• Eje OX: f(x)=0 « x⁴+1=0 ®  x⁴=-1 No tiene
• Eje OY: f(0)=1

d) Regiones:
Al no tener corte con el eje OX, la función tiene el mismo signo en todo R: x⁴+1 > 0
e) Ramas parabólicas:

• Para x ® ±¥, f(x) ® +¥

f) Puntos singulares:

• f'(x)=4x³
• f'(x)=0 «  4x³=0 -> x=0
• f(0)=1
• f''(x)=12x²
• f''(0)=0
• f'''(x)=24x
• f'''(0)=0
• f^iv(x)=24
• f^iv(0)=24¹0

Como el orden de derivación para el que la derivada es distinta de cero es n=4, par y f^iv(0)>0 se trata de un Mínimo (0,1).
Al no tener punto de inflexión la curvatura no cambia en todo R: Es una función convexa.